sudut pandang dari luas lingkaran

dua hari lalu, saya mendadak dihadapkan kepada sebuah pertanyaan sederhana. pertanyaan yang, sebenarnya, memiliki implikasi yang agak luar biasa terhadap sudut pandang saya selama ini.

untuk setiap lingkaran L dengan radius r, maka luas L adalah πr2. buktikan.

iya, ini pertanyaan sederhana. tentang geometri yang dulu sempat saya (dan seharusnya sebagian besar dari kita) pelajari dalam pelajaran matematika di SD. tapi pertanyaan ini jadi penting; kenapa begitu, karena pada saat saya menemukan pertanyaan tersebut saya sadar bahwa saya tidak benar-benar tahu jawabannya, pembaca.

[circle-rectangle]
lingkaran. dan persegi. ini kan pelajaran SD. lalu kenapa? :?

jadi begini. untuk pencarian terhadap luas bangun datar, kita bisa berpedoman pada satuan berupa kotak-kotak di kertas. misalkan sebuah persegi dengan masing-masing sisi 4 kotak, kita bisa dengan mudah mengatakan bahwa luasnya adalah 16 kotak. lihat saja gambarnya, bisa dihitung, benar 16 satuan kok! :mrgreen:

demikian juga luas persegi panjang (panjang x lebar) atau luas segitiga (1/2 x alas x tinggi). untuk sembarang segitiga, kita bisa membaginya ke dalam dua segi empat yang sama besar, bukan? coba lihat gambar deh.

[triangle-rectangle]
gambar ini… untuk sembarang dua segitiga identik, bisa diperoleh dua segi empat yang jumlah luasnya sama dengan dua segitiga tersebut.

…tapi, bagaimana dengan lingkaran? ini masalah besar!

::

anda pembaca mungkin (dan seharusnya masih) ingat dengan rumus luas lingkaran: πr2. tapi masalahnya adalah, bagaimana anda bisa yakin bahwa rumus tersebut menyatakan luas sembarang lingkaran dengan jari-jari r?

ada hal yang menarik pikiran saya sini. hal yang menohok saya tersebut adalah bahwa selama bertahun-tahun saya memiliki pengetahuan tersebut, saya tidak benar-benar tahu bagaimana membuktikan bahwa luas sembarang lingkaran adalah πr2!

okelah, sejak dulu saya bisa membuktikan bahwa rumus luas untuk bangun datar lain bisa diekstrapolasi seperti pada gambar. itu pendekatan yang umum, toh hasilnya bisa diterima oleh nalar anak-kecil saya waktu itu.

tapi lingkaran? ternyata saya tidak benar-benar tahu, sampai saya membuktikannya dua hari lalu. jadi selama dua puluh tahun lebih saya hidup, saya cuma mendasarkan pemahaman saya tentang luas lingkaran sebagai sesuatu yang dogmatis!

bapak dan ibu guru mengatakan bahwa rumus luas lingkaran adalah πr2. saya hanya menerimanya, menganggapnya sebagai common sense. saya menggunakan rumus tersebut untuk menghitung volume tabung, luas permukaan bangun ruang, dan sebagainya…

…sementara ada yang keropos dalam pemahaman saya. ada pertanyaan-pertanyaan yang seharusnya saya ajukan, dan yang lebih parah lagi: saya tidak merasa bahwa rumus yang terdiri atas lambang-lambang tersebut pada dasarnya tidak makes sense!

tentu saja tidak makes sense, karena tanpa jawaban dari pertanyaan-pertanyaan yang seharusnya saya ajukan tersebut, rumus tersebut cuma rangkaian simbol yang tidak ada artinya — kecuali, ya tentu saja, karena saya meyakininya sebagai rumus luas lingkaran.

pertanyaannya itu sebagai berikut:

  1. apa artinya sebuah bilangan π? saya cuma menerimanya sebagai 22/7 atau 3.1415…? absurd!
  2. apa pula hubungannya sehingga jari-jari kuadrat bisa menjadi faktor luas lingkaran? tunggu. mungkin seperti persegi, tapi kenapa perlu π?

sekarang lihat, dan saya menanyakan kepada anda. pernahkah anda terpikir bahwa ini adalah hal yang aneh? anda tidak bisa mengekstrapolasi luas lingkaran dari kotak-kotak satuan (seperti contoh pada gambar), tapi kenapa bisa anda percaya bahwa rumus dengan lambang dan angka tidak jelas itu pasti adalah luas lingkaran?

…saya sedikit tersentak bahwa kesimpulan saya adalah bahwa saya telah menjadi ‘korban’ dari dogma yang tidak benar-benar saya pahami tentang luas lingkaran ini selama dua puluh tahun terakhir.

dibilang begitu juga, memang akhirnya saya bisa menelaah dan membuktikan ‘ketidakmasukakalan’ itu sendiri. tapi sudah agak terlambat: bukan masalah pembuktiannya, tapi karena saya bahkan tidak pernah mempertanyakan ‘ketidakmasukakalan’ itu sejak belajar geometri dulu!

::

hal yang membingungkan saya adalah, bagaimana bisa selama bertahun-tahun saya cuma menerima suatu rumus ini sebagai sesuatu yang saya yakini kebenarannya, tanpa pernah mempertanyakannya, padahal bisa dibuktikan?

dan ujung-ujungnya, ini berpengaruh ke banyak hal dalam kehidupan. berapa banyak saya menerima hal-hal yang kita jalani dalam hidup sebagai sesuatu yang dogmatis bahkan tanpa saya ingin mempertanyakannya?

hidup urut-urutannya sekolah, kuliah, kerja, menikah, punya anak. tulisan di papan tulis di sekolah itu harus disalin ke buku tulis. datang ke kantor itu harus pakai kemeja, celana panjang bahan, dan pantofel. dan lain-lain yang daftarnya bisa panjang sekali.

tentu saja, bukan berarti saya lalu jadi anti-kemapanan dan menolak segala tatanan (ngomong-ngomong, itu ide yang menarik juga sih :mrgreen: ), tapi memangnya apa masalahnya kalau ide seperti itu dipertanyakan dan didebat?

misalnya saya mempertanyakan, memangnya setelah lulus kuliah, lalu kerja, saya pasti harus menikah? kalau nggak ketemu seseorang yang cocok, memangnya harus dipaksakan? kenapa saya harus pakai kemeja dan pantofel ke kantor? adakah masalahnya dengan sepatu kets? saya menyalin ringkasan dari papan tulis saja ke buku tulis untuk mempersingkat, bolehkah?

tentu saja tidak selalu akhirnya sistem yang sudah established itu pasti tidak sesuai, bisa saja memang ada alasan yang baik untuk itu. saya harus pakai kemeja ke kantor karena saya mungkin akan terlibat dalam pertemuan formal, atau saya harus menyalin isi papan tulis karena pasal-pasal konstitusi tidak boleh diringkas seenaknya.

tapi setidaknya saya punya alasan bagus untuk mengikuti nilai-nilai yang sudah terstruktur itu, dan saya tidak asal mengikuti secara buta. tentu saja ini juga berarti bahwa saya bisa dan boleh tidak setuju dengan sesuatu kalau saya tidak punya alasan bagus untuk setuju dengan hal tersebut!

toh pada akhirnya, bukan hanya jawabannya yang sesungguhnya penting. bukan kata-kata sakti bahwa rumus lingkaran adalah πr2 itulah yang bermakna, tapi pencarian atas alasan itu yang jadi penting.

kalau tidak, ya sia-sia saja. karena kalau tidak seperti itu, pada akhirnya kita cuma akan berjalan di tempat, kan? ;)

___

P.S.: saya sengaja menyisakan pembuktian rumus luas lingkaran untuk kesenangan berpikir anda. silakan dicoba kalau tertarik. ;)

7 Comments

  1. May 9, 2010 at 3:37 pm - link to this comment

    makasih artikelnya yud.

    jadi inget metode monte-carlo untuk mencari pendekatan PI.
    misalkan kita gambar persegi dengan panjang sisinya L.
    kita tau luas persegi tsb,
    A(persegi) = L x L

    kita bikin sistem koordinat katersius XY dg dimensi L x L.
    dmn rentang nilai X dr 0 sampai L. demikian jg dg rentang nilai Y dr 0 sampai L.

    trus, di atas persegi tsb, kita gambar seperempat lingkaran dg pusat di (0,0).
    untuk menghitung seperempat lingkaran tsb, berasumsi,
    A(1/4 lingkaran) = K x L x L
    dmn K adalah sembarang nilai konstan.

    setelah itu siapkan N titik (1000 titik ke atas) yg dibuat secara acak. dg menggunakan hukum pitagoras kita bs menghitung panjang titik tsb dg pusat koordinat. jika panjang tsb kurang dr L atau sama, tambahkan ke sembarang variabel A (masuk wilayah seperempat lingkaran). ulangi trus hingga putaran ke-N.

    kita tau bahwa N titik tsb masuk smuanya ke wilayah luas persegi. sedangkan A titik tsb masuk smuanya ke wilayah luas seperempat lingkaran. yg menarik, jika kita bandingkan nilai A/N akan mendekati nilai PI/4.

  2. May 9, 2010 at 7:43 pm - link to this comment

    Monte Carlo… iya, ya. nggak kepikiran, ternyata bisa juga kayak begitu. :o

    kalau kayak begitu, bukankah intinya adalah perbandingan luas L^2 dan luas seperempat lingkaran adalah π/4? masuk akal sih, karena rumus luas lingkaran kan πr^2, jadi bisa diaproksimasi dengan dengan perbandingan rumus luas persegi. tentu saja mengasumsikan pseudorandom generator yang dipakai buat Monte Carlo-nya itu cukup acak untuk keperluan ini, kan. jadi inget pas bikin paper DAA dulu.

    btw, feed di planet csui04 di-update ke alamat yang baru, ya. saat ini diasumsikan memang untuk didaftarkan ke planet csui04, kecuali diinformasikan sebaliknya. thanks, ;)

  3. May 9, 2010 at 8:55 pm - link to this comment

    responsnya cepet.

    iya yud, dah ninggalin blog yg lama.
    diupdate ke alamat baru aja ya.
    thanks.

  4. May 10, 2010 at 5:05 pm - link to this comment

    yud, gw lupa rinciannya tapi dulu gw diajarin begini:

    Itu si lingkarang dibagi2 aja kaya motong pizza. Nah motongnya sebanyak2nya, terus potongannya itu disusun berjejer selang seling sampe mirip persegi panjang. Kayaknya dulu gw diajarin bisa dibuktiin dari situ deh kenapa luasnya pi er kuadrat :)

    //sori lupa rinciannya..

  5. Pak Guru
    May 16, 2010 at 1:29 am - link to this comment

    Nah ya itu pake pizza-pizza. :mrgreen:

    Itu, plus ini.

    *dulu langsung “oooooooooooooooooooo :o ” *

  6. Ella
    May 26, 2010 at 8:08 am - link to this comment

    Betul yud, pake pizza itu. makanya, kalo ketemu anak kecil, ajarin untuk selalu nanya, hehe

  7. July 20, 2010 at 10:46 pm - link to this comment

    saya juga baru sadar setelah lulus kuliah. bahwa satu2nya luasan yg “make sense” hanyalah persegi panjang. :D

    luas lain (segitiga, lingkaran, trapesium, dll) harus ditransformasi ke bentuk persegi panjang lalu disusun sedemikian rupa untuk didekati besar luasannya.

    ahh,, kenapa dulu waktu smp/sma g pernah diajarin yang kek gini ya… :(

Post a Comment

Your email is never shared. Required fields are marked *

*
*